Header Ads

Uraian Lengkap Materi Barisan Dan Deret

Kembai lagi dengan jalurprestasi.info yang kali ini kami akan membahas materi mengenai Pola Bilangan  yang merupakan salah satu bagian dari materi sebelumnya yaitu Pengertian Himpunan  . Pembahasan dibawah ini yang telah kami beri judul Materi Barisan Dan Deret semoga dapat membantu kalian dalam belajar matematika dengan baik sehingga semakin mahir dalam bermatematika.



Pengertian

Barisan bilangan adalah bilangan yang tersusun menurut aturan tertentu, sehingga suku-sukunya merupakan fungsi dari n, n ∈ bilangan asli

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih atau beda antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

Deret bilangan adalah penjumlahan dari suku-suku barisan


Barisan Dan Deret Aritmatika

Ciri dari barisan aritmatika adalah beda atau selisih dari dua suku berurutan selalu tetap.

a   = suku pertama
b   = beda
Un = suku ke-n
Sn = jumlah n suku pertama



Jika di antara bilangan a dan p disisipkan n buah bilangan dan membentuk sebuah barisan/deret aritmatika, maka beda barisan/deret tersebut adalah: b = (p -a)/(n+1).

Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut = (a+ Un)/2

Un = Sn - Sn-1


Barisan Dan Deret Geometri

Ciri dari barisan geometri adalah rasio (pembanding/pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap.

a   = suku pertama
r   = rasio
Un = suku ke-n
Sn = jumlah n suku pertama
Untuk n ganjil, maka suku tengahnya (Ut) adalah : Ut = √(a.Un)





Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang penjumlahanya sampai suku tak hingga.

Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen jika -1 < r < 1



Contoh Soal Dan Pembahasan

1. Tentukan 3 suku berikutnya dari barisan  5, 8, 11, 14,...

Penyelesaian :
Pola barisan bilangan diatas adalah bertambah 3 dari sulu sebelumnya.
Jadi 3 suku berikutnya dari barisan bilangan di atas adalah 17, 20, 23


2. Tentukan 3 suku pertama dari barisan yang ditentukan Un = 3n - 5

Penyelesaian :
Substitusi n = 1,2,3
Un = 3n - 5
U1 = 3.1 - 5 = -2
U2 = 3.2 - 5 =  1
U3 = 3.3 - 5 =  4
Jadi 3 suku pertama dari barisan tersebut adalah -2, 1, 4

3. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan 5, 9, 13, 14, ...

Penyelesaian :
Suku pertama a = 5
Beda barisan = U2 -U1 = 4
Un = a + (n - 1)b
Un = 5 + (n - 1).4 = 5 + 4n - 4
Un = 4n + 1

4. Hitung jumlah 6 suku pertama dari 3, 8, 13, 18,...

Penyelesaian :
a = 3, b = 5, n = 6

Sn = n/2 [2a + (n - 1).b]
Sn = 6/2 [2.3 + (6-1).5]  = 3 (6+25) = 3. 31 = 93 

5. Suku ke 3 dan suku ke 7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 8 dan 28. Tentukan jumlah 10 suku pertama barisan tersebut!

Penyelesaian :
U3 = a + (3-1)b = a + 2b =  8
U7 = a + (7-1)b = a + 6b = 28  -
                                -4b = -20
                                   b = 5
cara cepat b = U7 - U3
                           7 - 3 

a + 2b = 8
a + 2.5 = 8
a + 10 = 8
a = 8-10 = -2

Sn = n/2 [2a + (n - 1).b]
Sn = 10/2 [2.(-2) + (10 -1).5] = 5 [-4 + 45] = 5 . 41 = 205

6. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n² + 3n. Suku kelima barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :
Un = Sn - Sn-1 = S5 - S4
     = [ 5² + 3.5] - [4² + 3.4]
     = [25 + 15] - [16 + 12]
     = 40 - 28 = 12

7. Di antara bilangan 9 dan 111 disisipkan sebanyak 33 bilangan, sehingga bilangan semula dan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Tentukan suku kedua puluh satu barisan tersebut adalah....

Penyelesaian :
b = (111 - 9)/ (33+1) = 102/34 = 3
Un = a + (n-1)b = 9 + (21-1).3 = 9 + 60 = 69


8. Jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika dirumuskan dengan Sn = n² -3n. Maka suku ke-10 barisan tersebut adalah...

Un = Sn - Sn-1
U10 = S10 - S9
       = (10² -3.10) - (9² -3.9)
       = (100 -30) - (81-27)
       = 70 - 54 = 16

9. Tentukan suku ke-n dari barisan berikut 4,12, 36, 108, ...

Penyelesaian :

a = 4, r = 12/4 = 3
Un = a.rn-1
Un = 4.3n-1


10. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jika hasil kali ketiga bilangan adalah 8.000, dan jumlah bilangan terkecil dan terbesar adalah 104. Maka rasio barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :

U1.U2.U3 = 8.000
a.ar.ar² = 8.000
a³r³ = 8.000
(ar)³ = 20³
ar = 20, a = 20/r
a + ar² = 104
a (1+ r²) = 104
20/r (1+r²) = 104
20 (1+r²) = 104.r
20 + 20r² = 104r
20r² - 104r + 20 = 0..... (:) 4
5r² - 26r + 5 = 0
(5r -1) (r-5) = 0
r = 1/5 atau r = 5

11. n - 1, n + 2, 3n adalah tiga suku pertama suatu barisan geometri. Jika n adalah bilangan
bulat positif, tentukanlah suku ke-empat barisan tersebut.

Penyelesaian :

ciri barisan geometri adalah rasio, dimana r = U2/U1 = U3/U2 = U4/U3 ....
maka U2/U1 = U3/U2
(n+2)/(n-1) = 3n/(n+2).... kali silang
(n+2)(n+2) = 3n(n-1)
n²+4n+4 = 3n² -3n
0 = 3n² -n² -3n - 4n - 4
0 = 2n² - 7n -4
0 = (2n+1) (n-4)


2n+1 = 0
n = -1/2 (tidak memenuhi)
n-4 = 0
n = 4 (memenuhi)
maka suku pertama adalah n-1 = 4-1 = 3
rasio adalah U2/U1 = (n+2)/(n-1) = (4+2)/(4-1) = 2
U4 = a.r³
= 3.2³ = 3.8 = 24

12. Suatu barisan geometri terdiri dari lima suku. Jika suku pertama barisan tersebut adalah 4
dan suku terakhirnya adalah 256, tentukan suku ke-3 barisan geometri tersebut.

Penyelesaian :
a = 4, U5 = 256

Un = a.rn-1
U5 = a.r4
256 = 4.r4
r4 = 256/4 = 64
r = ∜64
r = 2√2

U3 = a.r²
     = 4.(2√2)²
     = 4.8 = 32

13. .Diketahui deret geometri 3 + 3² + 3³ + ...+ 3= 363. Banyaknya suku pada deret tersebut adalah...

Penyelesaian :

a = 3, r = 3, Sn = 363
Sn       = a(.rn-1)/ (r-1)
363      = 3( 3 -1)/(3-1)
363      = 3( 3 -1)/2
363.2/3 =  3 -1
242       =  3n -1
243       =  3n 
n           = 5


14. Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan geometri adalah 14 dan 112. Suku ke enam barisan geometri tersebut adalah...

Penyelesaian :

U2 = a.r = 14
U5 = a.r4 = 112
     ar.r³ = 112
     14..r³ = 112
     .r³ = 112/14 = 8
      r = ∛8 = 2
ar   = 14
a.2 =14
a    = 14/2 = 7
U6 = a.r5
     = 7.25
     = 7.32
     = 224


15. Tiga bilangan membentuk barisan geometri naik. Hasil kali dan jumlah bilangan tersebut berturut-turut adalah 512 dan 28. Suku ketiga barisan tersebut adalah...

Penyelesaian :

Hasil kali adalah  512
U1.U2.U3         = 512
(U2/r)(U2)(U2.r) = 512
(U2)³                = 512
U2                   = ∛512 = 8

Jumlah adalah 28
U1 + U2 + U3 = 28
U2/r + U2 + U2.r = 28
8/r + 8 + 8r = 28 
8r - 20 + 8/r = 0 .... (x) r/4
2r² -5r + 2 = 0
(2r-1)(r-2) = 0
2r-1 = 0
2r = 1
r = 1/2, atau
r-2 = 0
r = 2
Karena barisan tersebut adalah barisan geometri naik maka r = 2
U3 = U2.r = 8.2 =16

16. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 48, sedangkan jumlah suku-suku bernomor genapnya sama dengan 16. Berapakah rasio dari deret geometri tersebut?

Penyelesaian :

Sganjil + Sgenap = S∽
Sganjil + 16 = 48
Sganjil = 48 - 16 = 32

r = Sgenap  = 16 = 1
     Sganjil       32    2

17. Diketahui suatu deret geometri tak hingga 3 + 1,5 + 0,75 ....
Tentukanlah Jumlah tak hingga suku ganjil deret tersebut !

Penyelesaian :

a = 3, 
r = 1,5/3 = 0.5

Sganjil =    a      
              1 - r²
         =    3   
              1-0,5²
         =    3   
               0,75
         = 4

18. Pada bulan pertama Daffa menabung sebesar Rp 150.000,00, pada bulan kedua Rp 170.000,00 demikian seterusnya tiap bulan jumlah yang ditabung bertambah Rp 20.000,00. Besar tabungan Daffa setelah 1 tahun adalah...

Penyelesaian :

a = 150.000
b =  20.000
n = 12 bulan

S12 = 12/2 (2x150.000 + (12-1) 20.000)
       = 6 (300.000 + 220.000)
       = 6 (420.000)
       = 2.520.000

Jadi jumlah seluruh tabungan Daffa selama 1 tahun adalah Rp 2.520.000,00

19. Seutas tali dibagi menjadi enam potong dengan tiap bagiannya membentuk barisan geometri. Jika potongan terpendek adalah 2 cm dan potongan terpanjang adalah 486 cm, maka panjang tali semula adalah...

Penyelesaian :

a = 2
U6   = 486
a.r = 486
2..r5 = 486
r5      = 486/2 = 243
r      = 3

S6 = a (r6 -1)
           r-1
     = 2(36 -1)
           3-1
     =  2 (729-1)
             2
     = 728

20. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari tempat yang ketinggiannya 1,5 meter. Setiap kali bola memantul, bola mencapai ketinggian yang sama dengan 2/3 dari ketinggian yang dicapai sebelumnya. Panjang lintasan bola sejak dilemparkan sampai terhenti adalah...

Penyelesaian :



  Sturun = 1,5 + 1 +2/3 + 4/9 + ... 
            =   a     =   1,5    =   1,5    = 4,5
                1-r       1-2/3        1/3

Snaik = 1 + 2/3 + 4/9 +...
          =   a     =   1    =   1    = 3
              1-r      1-2/3     1/3

Panjang lintasan = Sturun + Snaik = 4,5 + 3 = 7,5 m

Tidak ada komentar